مسائلی در آنالیز ریاضی (جلد دوم) - پیوستگی و مشتق

کتاب پیش رو جلد دوم از مجموعۀ هدفمند مسائلی در آنالیز ریاضی است. کتاب با توابع حقیقی تک‌متغیره سروکار دارد. مگر هفتمین بخش از فصل نخست که توابع در فضاهای متریک بحث می‌شوند. همانند کتاب نخست، «مسائلی در آنالیز ریاضی، جلد اول، دنباله‌ها و سری‌ها» کتاب به دو بخش تقسیم شده است: بخش اول گردایۀ تمرین‌ها و مسائل است و بخش دوم حل آنها را در بر دارد. با وجود آنکه در اغلب موارد حل‌های مختلفی برای یک مسأله ممکن است، ما تنها به ارایۀ یک حل پرداخته‌ایم. افزون بر این، مسائل معلول روش‌های حلشان بخش‌بندی شده‌اند؛ به عنوان مسال، اگر مسأله‌ای را در بخش توابع محدب آورده‌ایم بدان معناست که در حلش از ویژگی‌های توابع محدب بهره برده‌ایم. هر بخش با مسائلی به نسبت آسان شروع می‌شود؛ با این حال حاوی مسائل کاملاً چالش برانگیز نیز است که گاه قضیه‌اند. با وجودی که مخاطبان اصلی کتاب دانشجویان‌اند، موضوع‌هایی که بدان پرداخته‌ایم می‌تواند یاری‌دهندۀ استادان در ارایه‌های کلاسی‌شان و یا سمینارها نیز باشد. برای مثال با دنبال کردن کارهای استیون رومن در ماهنامۀ ریاضی امریکا اثباتی برای فرمول مشهور فاآدی برانو راجع به مشتق n-ام ترکیب دو تابع ارائه کردیم. کاربردهای این فرمول برای توابع تحلیلی که در فصل سوم بیان شده است را از کتاب "primer of Real Analytic Functions" نوشتۀ استیون جی. کرانتز و هارولد آر. پارکس عاریت گرفته‌ایم. در واقع، کتاب پیش گفته آن‌قدر مهیج است که نتوانستیم از رعایت تعدادی قضیه از آن خودداری کنیم. همچنین مایلیم در اینجا یادی کنیم از تعمیم قضیۀ توبرکه هاردی و لیتلوود انجام داده‌اند. اثباتی که برای این حکم دادیم مبتنی بر مقالۀ کاراماتا است. بسیاری از مسائل را آزادانه از بخش‌های مسأله در مجله‌های ریاضی "American Mathematical Monthly" ،"Mathematics Today" (روسی) و "Delta" (لهستانی) و بسیاری از کتاب‌های درسی و مسأله به ودیعه گرفته‌ایم. فهرست کامل در کتابنامه آورده شده است. کتاب پیش رو جلد دوم از مجموعۀ هدفمند مسائلی در آنالیز ریاضی است. کتاب با توابع حقیقی تک‌متغیره سروکار دارد. مگر هفتمین بخش از فصل نخست که توابع در فضاهای متریک بحث می‌شوند. همانند کتاب نخست، «مسائلی در آنالیز ریاضی، جلد اول، دنباله‌ها و سری‌ها» کتاب به دو بخش تقسیم شده است: بخش اول گردایۀ تمرین‌ها و مسائل است و بخش دوم حل آنها را در بر دارد. با وجود آنکه در اغلب موارد حل‌های مختلفی برای یک مسأله ممکن است، ما تنها به ارایۀ یک حل پرداخته‌ایم. افزون بر این، مسائل معلول روش‌های حلشان بخش‌بندی شده‌اند؛ به عنوان مسال، اگر مسأله‌ای را در بخش توابع محدب آورده‌ایم بدان معناست که در حلش از ویژگی‌های توابع محدب بهره برده‌ایم. هر بخش با مسائلی به نسبت آسان شروع می‌شود؛ با این حال حاوی مسائل کاملاً چالش برانگیز نیز است که گاه قضیه‌اند. با وجودی که مخاطبان اصلی کتاب دانشجویان‌اند، موضوع‌هایی که بدان پرداخته‌ایم می‌تواند یاری‌دهندۀ استادان در ارایه‌های کلاسی‌شان و یا سمینارها نیز باشد. برای مثال با دنبال کردن کارهای استیون رومن در ماهنامۀ ریاضی امریکا اثباتی برای فرمول مشهور فاآدی برانو راجع به مشتق n-ام ترکیب دو تابع ارائه کردیم. کاربردهای این فرمول برای توابع تحلیلی که در فصل سوم بیان شده است را از کتاب "primer of Real Analytic Functions" نوشتۀ استیون جی. کرانتز و هارولد آر. پارکس عاریت گرفته‌ایم. در واقع، کتاب پیش گفته آن‌قدر مهیج است که نتوانستیم از رعایت تعدادی قضیه از آن خودداری کنیم. همچنین مایلیم در اینجا یادی کنیم از تعمیم قضیۀ توبرکه هاردی و لیتلوود انجام داده‌اند. اثباتی که برای این حکم دادیم مبتنی بر مقالۀ کاراماتا است. بسیاری از مسائل را آزادانه از بخش‌های مسأله در مجله‌های ریاضی "American Mathematical Monthly" ،"Mathematics Today" (روسی) و "Delta" (لهستانی) و بسیاری از کتاب‌های درسی و مسأله به ودیعه گرفته‌ایم. فهرست کامل در کتابنامه آورده شده است.